《二倍角的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.

2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题.

3.要注意体会二倍角公式与和差公式的内在联系.

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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第二部分内容：自主预习

一、二倍角的正弦、余弦和正切公式

1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?

提示:sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α,cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α,tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1"-" tan^2 α),即sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α,tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α).

2.上述cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢?

提示:根据同角的三角函数关系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

3.填空

二倍角的正弦、余弦、正切公式

4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围 

在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α只有当α≠π/2+kπ,且α≠π/4+kπ/2(k∈Z)时才成立,否则不成立

("因为当" α=π/2+kπ"," k"∈" Z"时," tanα"的值不存在;当" α=π/4+┤ ├ kπ/2 "," k"∈" Z"时," tan2α"的值不存在" ).当α=π/2+kπ,k∈Z时,虽然tan α的值不存在,但tan 2α的值是存在的,这时求tan 2α的值可利用诱导公式,即tan 2α=tan2(π/2+kπ)=tan(π+2kπ)=tan π=0.

5.做一做

求下列各式的值.

(1)4sin 15°cos 15°=______________; 

(2)若cos α=1/3,则cos 2α=______________; 

(3)若tan θ=1/2,则tan 4θ=______________. 

解析:(1)4sin 15°cos 15°=2•2sin 15°cos 15°

=2sin 30°=2×1/2=1.

(2)cos 2α=2cos2α-1=2(1/3)^2-1=-7/9.

(3)由已知得tan 2θ=2tanθ/(1"-" tan^2 θ)=(2×1/2)/(1"-" (1/2)^2 )=4/3,

所以tan 4θ=2tan2θ/(1"-" tan^2 2θ)=(2×4/3)/(1"-" (4/3)^2 )=-24/7.

答案:(1)1　(2)-7/9　(3)-24/7

二、二倍角公式的变形

1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin 2α可化为什么形式?

提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.

2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?

提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,

sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2.

3.填空

(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2; 

(2)升幂缩角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;

(3)降幂扩角公式:sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2.

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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第三部分内容：探究学习

利用二倍角公式解决给角求值问题

例1求下列各式的值:

(1)sin π/12cos π/12;(2)1-2sin2750°;(3)2tan150"°" /(1"-" tan^2 150"°" );

(4)cos 20°cos 40°cos 80°.

分析:对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin 20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.

解:(1)原式=(2sin" "  π/12 cos" "  π/12)/2=(sin" "  π/6)/2=1/4.

(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°

=cos(4×360°+60°)=cos 60°=1/2.

(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°

=tan(360°-60°)=-tan 60°=-√3.

(4)原式=(2sin20"°•" cos20"°•" cos40"°•" cos80"°" )/2sin20"°" 

=(2sin40"°•" cos40"°•" cos80"°" )/4sin20"°" =(2sin80"°•" cos80"°" )/8sin20"°" 

=sin160"°" /8sin20"°" =1/8.

反思感悟 对于给角求值问题,一般有两类:

(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第四部分内容：思维辨析

忽视角的范围致误 

典例 化简:√(2+√(2+2cosα)) (2π<α<3π).

错解√(2+√(2+2cosα)) =√(2+2cos α/2)=2cosα/4.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?

提示:错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误.

正解:∵2π<α<3π,

∴π<α/2<3π/2,π/2<α/4<3π/4.

∴√(2+√(2+2cosα)) =√(2+√(4cos^2  α/2)) 

=√(2"-" 2cos α/2)=√(4sin^2  α/4)=2sinα/4.

防范措施 利用二倍角公式化简√(1±cosα)时,由于1+cos α=2cos2α/2,1-cos α=2sin2α/2,则√(1+cosα)=√2 |cos α/2|,√(1"-" cosα)=√2 |sin α/2|,因此要根据α/2的终边所在的象限确定sinα/2,cosα/2的符号,从而去掉绝对值符号,保持恒等变形.

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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第五部分内容：随堂演练

1.下列各式中,不一定成立的是(　　)

A.sin 8α=2sin 4αcos 4α

B.1-cos 2α=2sin2α

C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α

D.tan 2α=2tanα/(1+tan^2 α)

解析:由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定成立.

答案:D

2.已知sin α=-3/5,π<α<3π/2,则sin 2α等于(　　)

A.7/5 B.-1/5 C.-12/25 D.24/25

解析:∵sin α=-3/5,π<α<3π/2,∴cos α=-4/5.

∴sin 2α=2sin αcos α=2×("-"  3/5)×("-"  4/5)=24/25.

答案:D 

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