《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.能够根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.

2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第二部分内容：自主预习

一、两角和的余弦公式

1.由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β以及诱导公式sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,能否将cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?

提示:cos(α+β)=cos [α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β

2.填空

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 

二、两角和与差的正弦公式

1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β以及诱导公式sin(π/2 "-" α)=cos α,cos(π/2 "-" α)=sin α,能否将sin(α-β)以及sin(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?

提示:sin(α-β)=cos [π/2 "-(" α"-" β")" ]=cos [(π/2 "-" α)+β]

=cos(π/2 "-" α)cos β-sin(π/2 "-" α)sin β

=sin αcos β-cos αsin β,

同理,由sin(α+β)=sin [α-(-β)],可推得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.

2.填空

(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β. 

(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 

3.判断正误

(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(　　)

(2)sin α+sin β=sin(α+β).(　　)

(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(　　)

(4)sin 15°+cos 15°=       sin 60°.(　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

三、两角和与差的正切公式

1.(1)求tan 15°的值.

提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=(√6 "-" √2)/4,

cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=(√6+√2)/4,∴tan 15°=sin15"°" /cos15"°" =(√6 "-" √2)/(√6+√2)=2-√3.

(2)根据同角三角函数的商数关系tan θ=sinθ/cosθ,怎样由sin(α+β)以及cos(α+β)的公式将tan(α+β)用tan α,tan β来表示?如何将tan(α-β)用tan α,tan β来表示?

提示:tan(α+β)=(sin"(" α+β")" )/(cos"(" α+β")" )=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ"-" sinαsinβ)

=((sinαcosβ+cosαsinβ)/cosαcosβ)/((cosαcosβ"-" sinαsinβ)/cosαcosβ)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ),

tan(α-β)=tan[α+(-β)]

=(tanα+tan"(-" β")" )/(1"-" tanαtan"(-" β")" )=(tanα"-" tanβ)/(1+tanαtanβ).

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第三部分内容：探究学习

化简与求值

例1化简下列各式:

(1)(sin47"°-" sin17"°" cos30"°" )/cos17"°" ;

(2)cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°);

(3)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°;

(4)(tan 10°-√3)•cos10"°" /sin50"°" ;

(5)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°).

解:(1)原式=(sin"(" 30"°" +17"°)-" sin17"°" cos30"°" )/cos17"°" 

=(sin30"°" cos17"°" +cos30"°" sin17"°-" sin17"°" cos30"°" )/cos17"°" 

=(sin30"°" cos17"°" )/cos17"°" =1/2.

(2)原式=cos[(x+27°)-(x-18°)]=cos 45°=√2/2.

(3)∵(tan12"°" +tan33"°" )/(1"-" tan12"°" tan33"°" )=tan(12°+33°)=tan 45°=1,

∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,

∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.

(4)原式=(tan 10°-tan 60°)•cos10"°" /sin50"°" 

=(sin10"°" /cos10"°"  "-"  sin60"°" /cos60"°" )•cos10"°" /sin50"°" 

=(sin10"°" cos60"°-" sin60"°" cos10"°" )/(cos10"°" cos60"°" )•cos10"°" /sin50"°" 

=-(sin"(" 60"°-" 10"°)" )/(cos10"°" cos60"°" )•cos10"°" /sin50"°" 

=-1/cos60"°" 

=-2.

(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)

=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°

=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°

=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°

=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2.

同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,∴原式=2×2=4.

反思感悟 1.公式的巧妙运用

①顺用:如本题中的(1);②逆用:如本题中的(2);③变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切化弦,将特殊值     化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°,      =tan 60°等.

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第四部分内容：思维辨析

忽视隐含条件致误 

典例 已知tan α,tan β是关于x的方程x2-5√3x+6=0的两个根,且α,β∈("-"  π/2 ","  π/2),求sin (α+β)/2的值.

错解由已知得tan α+tan β=5√3,tan αtan β=6,因此tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=(5√3)/(1"-" 6)=-√3.

又因为α,β∈("-"  π/2 ","  π/2),所以α+β∈(-π,π),于是α+β=2π/3或α+β=-π/3,

从而(α+β)/2=π/3 或 (α+β)/2=-π/6,

故sin (α+β)/2=√3/2或-1/2.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误? 

提示:错解中忽视了两个根tan α,tan β都大于零的条件,没有将α,β∈("-"  π/2 ","  π/2)应进一步缩小为α,β∈(0","  π/2),从而导致增解.

正解:由已知得tan α+tan β=5√3,tan αtan β=6,因此tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=(5√3)/(1"-" 6)=-√3,

又tan α+tan β=5√3>0,tan αtan β=6>0,所以tan α>0,tan β>0,又因为α,β∈("-"  π/2 ","  π/2),所以必有α,β∈(0","  π/2),则α+β∈(0,π),

于是α+β=2π/3,从而(α+β)/2=π/3,故sin (α+β)/2=√3/2.

防范措施 在解决三角函数求值问题时,务必注意对隐含条件的挖掘,尤其是给值求角问题,一定要注意根据已知条件对角的范围进行精确界定,以免产生增解.

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第五部分内容：随堂演练

1.sin(x+17°)cos(28°-x)+sin(28°-x)cos(x+17°)的值为(　　)

A.1/2 B.-1/2

C.-√2/2 D.√2/2

解析:原式=sin(x+17°+28°-x)=sin 45°=√2/2.

答案:D 

2.(√3 "-" tan105"°" )/(1+√3 tan105"°" )等于(　　)

A.-1 B.1 C.-√3 D.-√3/3

解析:(√3 "-" tan105"°" )/(1+√3 tan105"°" )=(tan60"°-" tan105"°" )/(1+tan60"°" tan105"°" )=tan(-45°)=-1.

答案:A 

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