《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT

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第一部分内容：课标阐释

1.理解同角三角函数基本关系式.

2.能运用同角三角函数基本关系式解决求值、化简与证明问题.

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同角三角函数的基本关系PPT，第二部分内容：自主预习

同角三角函数的基本关系式

1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?

提示:填表略.sin2α+cos2α=1,tan α=sinα/cosα.

2.填空

同角的三角函数基本关系

(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.

(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,

即sinα/cosα=tan α("其中" α≠kπ+π/2 "(" k"∈" Z")" ). 

3.做一做

(1)sin22 019°+cos22 019°=(　　)

A.0 B.1 C.2 019 D.2 019°

(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=_________. 

解析:(1)由平方关系知sin22 019°+cos22 019°=1.

(2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,所以tan θ=sinθ/cosθ=("-" cosθ)/cosθ=-1.

答案:(1)B　(2)-1

4.已知sin α(或cos α)的值,能否求出cos α(或sin α),tan α的值?已知sin α±cos α的值,怎样求出sin αcos α的值?

提示:利用两种关系式的变形可以解决上述问题.

二、同角三角函数基本关系式的变形

1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形

(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 

2.商数关系tan α=sinα/cosα (α≠kπ+π/2 "," k"∈" Z)的变形

(1)sin α=tan α·cos α; 

(2)cos α=sinα/tanα.

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同角三角函数的基本关系PPT，第三部分内容：探究学习

利用同角三角函数关系求值

角度1　已知某个三角函数值,求其余三角函数值

例1(1)已知sin α=1/5,求cos α,tan α的值;

(2)已知cos α=-3/5,求sin α,tan α的值.

分析:已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.

解:(1)∵sin α=1/5>0,∴α是第一或第二象限角.

当α为第一象限角时,cos α=√(1"-" sin^2 α)=√(1"-"  1/25)=(2√6)/5,tan α=sinα/cosα=√6/12;

当α为第二象限角时,cos α=-(2√6)/5,tan α=-√6/12.

(2)∵cos α=-3/5<0,∴α是第二或第三象限角.当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0,∴sin α=√(1"-" cos^2 α)=√(1"-" ("-"  3/5) ^2 )=4/5,tan α=sinα/cosα=-4/3;当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,∴sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-√(1"-" ("-"  3/5) ^2 )=-4/5,tan α=sinα/cosα=4/3.

反思感悟 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤

第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;

第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;

第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.

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同角三角函数的基本关系PPT，第四部分内容：核心素养

案例(开放探究题)从已知条件sin θ+cos θ=1/3 ,且θ∈(0,π),可以得到以下关系式:

(1)_____; 

(2)_____; 

(3)_____. 

解析:由sin θ+cos θ=1/3可以得出的结论是多样的,为此需明确方向.从同角三角函数的关系入手.因为sin θ+cos θ=1/3,所以(sin θ+cos θ)2=1/9,即sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1/9,所以得sin θcos θ=-4/9　①;此外注意到(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ,因此(sin θ-cos θ)2=17/9　②,由sin θcos θ=-4/9<0,且θ∈(0,π)可知,θ∈ π/2,π ,从而sin θ-cos θ=√17/3　③;亦可将③式与条件联立得sin θ=(1+√17)/6,cos θ=(1"-" √17)/6　④,由④式可得tan θ=(1+√17)/(1"-" √17)=-(9+√17)/8　⑤,等,从①②③④⑤中选择任意三个填上即可.

答案:(1)sin θcos θ=-4/9　(2)(sin θ-cos θ)2=17/9

(3)sin θ-cos θ=√17/3(答案不唯一)

名师点评对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;

(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;

(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;

(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.

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同角三角函数的基本关系PPT，第五部分内容：思维辨析

忽视角的取值范围致误

典例 已知sin α+cos α=1/5,0<α<π,求sin α-cos α.

错解∵sin α+cos α=1/5,

∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1/25,

∴2sin αcos α=-24/25,

∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=49/25,

∴sin α-cos α=±7/5.

以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?

提示:错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin α>0,cos α<0,因此解是唯一的.

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同角三角函数的基本关系PPT，第六部分内容：随堂演练

1.已知α∈(π/2 "," π),sin α=3/5,则cos α等于(　　)

A.4/5 B.-4/5 C.-1/7 D.3/5

解析:因为α∈(π/2 "," π),且sin α=3/5,

所以cos α=-√(1"-" sin^2 α)=-√(1"-" (3/5)^2 )=-4/5.

答案:B 

2.化简√(1"-" sin^2  3π/5)的结果是(　　)

A.cos3π/5 B.sin3π/5

C.-cos3π/5 D.-sin3π/5

解析:原式=√(cos^2  3π/5)=|cos" "  3π/5|=-cos 3π/5.

答案:C 

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