《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件5

《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件5

复习目标

掌握二次函数的概念、图象特征；掌握二次函数的性质，会求二次函数在给定区间上的最值；掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，提高综合解题的能力.

课前演练

1.已知f(x)=x²+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)=_____.

由f(1)=0，f(2)=0，得方程x²+ax+b=0的两根是1,2，所以a=-3，b=2.

故f(x)=x²-3x+2，所以f(-1)=6.

2.如果不等式f(x)=ax²-x-c>0(a、c∈R)的解集为（-2，1），那么函数y=f(-x)的大致图象是(     )

3.关于x的二次方程x²+ax+a2-4=0的两根异号，则a的取值范围是______.

4.函数y=4x-2x+1-5的值域是______ .

令t=2x，则y=t²-2t-5=(t-1)²-6(t>0),

所以y≥-6.

... ... ...

知识要点

1.函数①y=ax²+bx+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R，这是二次函数的一般形式,另外,还有顶点式:②y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点的坐标.两根式：③y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

2.二次函数的图象是一条④抛物线,经过配方,可得y=ax²+bx+c=⑤a(x+b/2a)²+4ac-b²/4a,顶点为⑥(-b/2a ,4ac-b²/4a),对称轴为直线⑦x=-b/2a.其图象及主要性质如下表：

... ... ...

题型一二次函数及它在闭区间上的值域

例1.已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0，f(1)=1.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n]，求m、n的值.

（1）设f(x)=ax²+bx+c(a≠0).

由已知得 

-b/2a=1            a=-1

c=0        ，解得 b=2

a+b+c=1          c=0

所以f(x)=-x²+2x.

（2）f(x)=-(x-1)²+1，显然n≤1,所以区间[m,n]在函数的对称轴x=1的左边,

所以 f(m)=m f(n)=n,即m、n是方程-x²+2x=x的两根.

又m<n，所以m=0，n=1.

... ... ...

点评

1.求二次函数的解析式，常用待定系数法，若能恰当选择其形式，将可化繁为简.

2.条件二次问题，注意一看开口方向，二看轴的位置，三算端点数值.若盲目分类，“前途”将很渺茫.

方法提炼

1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解他们之间的关系，运用函数与方程的思想将他们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.

2.对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在［m,n］上的最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须熟练掌握:

(1)当x=-b/2a ∈［m,n］时, 4ac-b²/4a是它的一个

最值，另一最值在区间端点处取得；当x＝-b/2a［m,n］时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.

(2)含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.

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