《复数的三角表示》复数PPT

《复数的三角表示》复数PPT

第一部分内容：学习目标

了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系

了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

... ... ...

复数的三角表示PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：

1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？

2．复数的辐角、辐角的主值是什么？

3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？

4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？

新知初探

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的_____；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ→)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

名师点拨 

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

(2)复数0的辐角是任意的．

(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则

(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)•r2(cos θ2＋isin θ2)

＝______________________________．

(2)z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）r2（cos θ2＋isin θ2）

＝______________________________．

即：两个复数相乘，积的模等于____________________，积的辐角等于各复数的辐角的_____．

两个复数相除，商的模等于__________的模除以__________的模所得的商，商的辐角等于__________的辐角减去__________的辐角所得的差．

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复数的三角表示PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数的辐角是唯一的．(　　)

(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　　)

(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　　)

(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　　)

2.  复数z＝1＋i的三角形式为z＝________．

3.  复数6cosπ2＋isinπ2的代数形式为________．

4.  6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6＝________；

6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝________．

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复数的三角表示PPT，第四部分内容：讲练互动

复数的代数形式与三角形式的互化

角度一　代数形式化为三角形式

把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)3＋i；

(2)2－2i.

规律方法

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模．

(2)决定辐角所在的象限．

(3)根据象限求出辐角．

(4)求出复数的三角形式．

[提醒]　一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．

角度二　三角形式化为代数形式

分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

(1)4cos π6＋isin π6；

(2)32(cos 60°＋isin 60°)；

(3)2cos π3－isin π3.

规律方法

复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．　 

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复数的三角表示PPT，第五部分内容：达标反馈

1．复数1－3i的辐角的主值是(　　)

A.53π　B.23π

C.56π   D.π3

2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．

3．arg(－2i)＝________．

4．计算：

(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；

(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷2cos 34π＋isin 34π.

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