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《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第3课时向量的数乘运算)

发布日期:2020-01-11

《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第3课时向量的数乘运算)

第一部分内容:学习目标

理解向量数乘的定义及几何意义,掌握向量数乘的运算律

掌握向量共线定理,会判断或证明两个向量共线

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平面向量的运算PPT,第二部分内容:自主学习

问题导学

预习教材P13-P16的内容,思考以下问题:

1.向量数乘的定义及其几何意义是什么?

2.向量数乘运算满足哪三条运算律?

3.向量共线定理是怎样表述的?

4.向量的线性运算是指的哪三种运算?

新知初探

1.向量的数乘的定义

一般地,规定实数λ与向量a的积是一个_______,这种运算叫做向量的数乘,记作_______,它的长度与方向规定如下:

(1)|λa|=_______.

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向_______;当λ<0时,λa的方向与a的方向_______;当λ=0时,λa=_______.

名师点拨 

λ是实数,a是向量,它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如λ+a,λ-a均没有意义.

2.向量数乘的运算律

设λ,μ为实数,那么:

(1)λ(μa)=_______.

(2)(λ+μ)a=______________.

(3)λ(a+b)=______________.

3.向量的线性运算及向量共线定理

(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的___________.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=____________.

(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_______.

名师点拨 

若将定理中的条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线.

(1)若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa.

(2)若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa.

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平面向量的运算PPT,第三部分内容:自我检测

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)实数λ与向量a的积还是向量.(  )

(2)3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.(  )

(3)若ma=mb,则a=b.(  )

(4)向量共线定理中,条件a≠0可以去掉.(  )

2.  4(a-b)-3(a+b)-b等于(  )

A.a-2b  B.a

C.a-6b  D.a-8b

3.若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是(  )

A.b=2a  B.b=-2a

C.a=2b  D.a=-2b

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平面向量的运算PPT,第四部分内容:讲练互动

向量的线性运算

(1)计算:

①4(a+b)-3(a-b)-8a;

②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);

③23(4a-3b)+13b-14(6a-7b).

(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2b-a).

规律方法

向量线性运算的基本方法

(1)类比方法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.

(2)方程方法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.  

向量共线定理及其应用

已知非零向量e1,e2不共线.

(1)如果AB→=e1+e2,BC→=2e1+8e2,CD→=3(e1-e2),求证:A、B、D三点共线;

(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.

规律方法

向量共线定理的应用

(1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行.  

(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若AB→=λAC→,则AB→与AC→共线,又AB→与AC→有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.

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平面向量的运算PPT,第五部分内容:达标反馈

1.1312(2a+8b)-(4a-2b)等于(  )

A.2a-b B.2b-a

C.b-a   D.a-b

2.若点O为平行四边形ABCD的中心,AB→=2e1,BC→=3e2,则32e2-e1=(  )

A.BO→   B.AO→

C.CO→   D.DO→

3.已知e1,e2是两个不共线的向量,若AB→=2e1-8e2,CB→=e1+3e2,CD→=2e1-e2,求证A,B,D三点共线.

证明:因为CB→=e1+3e2,CD→=2e1-e2,

所以BD→=CD→-CB→=e1-4e2.

又AB→=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以AB→=2BD→,所以AB→与BD→共线.

因为AB与BD有交点B,所以A,B,D三点共线.

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