《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第4课时向量的数量积)

《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第4课时向量的数量积)

第一部分内容：必备知识·素养奠基

1.向量的夹角

定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作   =a，  =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).

(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π.

(2)当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向.

(3)如果a与b的夹角是    我们说a与b垂直，记作a⊥b.

2.向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ. 

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

【思考】

(1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？

提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式.

(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？

提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.

4.向量的数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.

(1)垂直的条件：a⊥b⇔a·b=0.

(2)当a与b同向时，a·b=|a||b|；

当a与b反向时，a·b=-|a||b|.

【思考】

(1)对于任意向量a与b，“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗？

提示：当向量a与b中存在零向量时，总有a·b=0，但是向量a与b不垂直.

5.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

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平面向量的运算PPT，第二部分内容：关键能力·素养形成

类型一　向量数量积的计算及其几何意义

【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 

A.4 B.3 C.2 D.0

2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E，F分别为BC，CD的中点，则 =(　　)

3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________. 

【解析】

1.选B.因为|a|=1，a·b=-1，

所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.

【内化·悟】

如何解决几何图形中向量数量积的计算？

提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基底表示要求数量积的向量，再计算.

2.已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角θ=120°.

求：(1)a·b.

(2)a在b方向上的射影.

(3)(a-2b)·(a+b).

(4)(a-b)2.

类型二　与向量模有关的问题

【典例】1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_____________ . 

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