《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步PPT课件(向量基本定理 直线上向量的坐标及其运算)

《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步PPT课件(向量基本定理 直线上向量的坐标及其运算)

第一部分内容：学习目标

掌握共线向量基本定理

理解平面向量基本定理

两定理的熟练应用

理解直线上向量的坐标的含义及其运算

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向量基本定理与向量的坐标PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P152－P159的内容，思考以下问题：

1．共线向量基本定理是怎样表述的？

2．用向量证明三点共线有哪些方法？

3．平面向量基本定理的内容是什么？

4．如何定义平面向量基底？

5．实数与直线上的向量建立了什么关系？

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向量基本定理与向量的坐标PPT，第三部分内容：新知初探

1．共线向量基本定理

如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得________．

由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：______________________________．

2．平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b__________，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得__________．

平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组_____，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的__________．

名师点拨 

(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量．

(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的．

(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．

3．直线上向量的坐标

给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得__________，此时，x称为向量a的坐标．

当x>0时，a的方向与e的方向_____；

当x＝0时，a是__________；

当x<0时，a的方向与e的方向_____．

也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．

4．直线上向量的运算与坐标的关系

假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即

a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔__________; a＋b＝__________．

如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为__________，

ua－vb的坐标为__________．

设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OA→＝x1e，OB→＝x2e，因此，

AB→＝OB→－OA→＝____________________．

AB＝|AB→|＝__________．

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向量基本定理与向量的坐标PPT，第四部分内容：自我检测

1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)

(2)若e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　)

(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)

2.  如果向量a与向量b不平行，则与a，b都不平行的向量是(　　)

A．3a＋2b　　B．2a

C．－32a         D．－3b

3.  数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1，2，5，则(　　)

A.AB→的坐标为－3   B.BC→的坐标为3

C.AC→的坐标为－6   D.BC→的坐标为－3

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向量基本定理与向量的坐标PPT，第五部分内容：讲练互动

共线向量基本定理

例1 已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？

【解】若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．

因为m，n不共线，所以6λ＝3，－8λ＝4.

因为不存在λ同时满足此方程组，

所以a与b不共线．

规律方法

利用向量共线求参数的方法

判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．　 

用基底表示向量

例2 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC→＝a，BD→＝b，试用基底a，b表示AB→，BC→.

规律方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　 

直线的向量参数方程式的应用

例3  已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→(λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．

【解】法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.

法二：将已知向量等式两边同时减去OA→，得

OC→－OA→＝(3λ－1)OA→ ＋(1－3λ) OB→

＝(1－3λ)(OB→－OA→)

＝(1－3λ)AB→，

即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，

所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.

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向量基本定理与向量的坐标PPT，第六部分内容：达标反馈

1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)

A.AB→，DC→  B.AD→，BC→

C.BC→，CB→  D.AB→，DA→

2．设D为△ABC所在平面内一点，若BC→＝3CD→，则(　　)

A.AD→＝－13AB→＋43AC→

B.AD→＝13AB→－43AC→

C.AD→＝43AB→＋13AC→

D.AD→＝43AB→－13AC→

3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．

4．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.

(1)若|BD→|＝6，求d的值；

(2)若AC→＝－3AD→，求证：3CD→＝－4AC→.

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